図１のように、空中にわたされた水平な直線レール上をなめらかに動く質量M の台車がある。車体の脇からは、端に質量m の小さなおもりが付いた長さl の変形しない軽い棒がつり下げられており、レールに平行な鉛直面内でなめらかに振り子運動をさせることができる。重力加速度の大きさをg として、以下の設問に答えよ。結果だけでなく、途中の計算や考え方も記せ。

　はじめに、台車とおもりが共に静止した状態から出発し、台車に外力を加えて一定の加速度a で運動させた。

I.　台車上の観測者から見たときに、おもりが行う振り子運動の周期と、振り子運動の中心軸から測った最大の振れの角度φが満たす式を求めよ。

　次に、台車を静止させ、棒が水平になった状態からおもりを静かに放したところ、台車とおもりが同時に運動を始めた。

II.　この運動が、静止している観測者にはどう見えるかを考えよう。図のように、水平右向きにx 軸、鉛直上向きにy 軸をとる。棒が鉛直方向となす角が図の向きにθのときの台車の速度をV 、おもりの速度のx 成分をv 、y 成分をu とする。

(1) V とv の間に、 MV +mv =0という関係式が成り立つことを示せ。

(2) 力学的エネルギーの保存則を表す式を求めよ。

(3) 棒が伸び縮みしないという条件を、V,v,u の間の関係式として表せ。

III.　同じ運動を、台車上の観測者から見た場合を考える。

(1) 台車上の観測者から見ると、おもりには、重力と棒からの力以外に、慣性力（見かけの力）が加わっている。θ>0 のとき、慣性力の向きを求めよ。
(2) M =2m とする。台車上の観測者から見て、おもりが最下点にきたときの速さはいくらか。また、このとき棒に加わる張力を求めよ。

図１

　図２のように、３本の導体のレールＬ₁、Ｌ₂、Ｌ₃が同一水平面内でＮ字形に配置されている。Ｌ₁とＬ₂は間隔l [m]の平行線になっている。Ｌ₁とＬ₃、Ｌ₂とＬ₃は、一端がそれぞれＸ地点とＹ地点に位置しているが、各レール間には薄い絶縁体が挟まれており、電気的にはつながっていない。それぞれのレールには、抵抗値がr₁[Ω]，r₂[Ω]の電気抵抗器r₁，r₂と電流計Ａが図のように接続されている。また、レールが置かれている領域には、鉛直上向きに磁束密度B [Wb/m²]の一様な静磁界が加わっている。

　この３本のレールの上で、導体棒Ｐを、軸がＬ₁とＬ₂に垂直になるようにしたまま、一定の速度v [m/s]ですべらせる実験を行った。ＰがＸ地点を通過する時刻をt =0[s]、Ｙ地点を通過する時刻をt =T [s]とする。レールや導体棒の太さ、力学的な摩擦や抵抗器以外の電気抵抗、回路の自己インダクタンスは無視できるものとする。以下の問いに答えよ。

I.　Ａに流れる電流が0 になる時刻を求めよ。

II.　ＰをＬ₁とＬ₂に対して垂直に保ちながら一定の速度で動かすために、どのような外力を加えなければならないかを考えよう。

(1) Ｐに加える外力の水平成分の大きさを、v ，l ，B ，r₁，r₂，T を使って、時間t の関数として表せ。
(2) Ｐが回転しないようにするためには、Ｐに作用する力のモーメントが常につりあっていなければならない。t =ÑT のとき、ＰとＬ₃が接する点の回りの外力のモーメントはいくらか。図の右回りを正として、符号を含めて答えよ。

III.　抵抗器r₁，r₂で消費される電力の時間変化をグラフで示せ。グラフには、t =0とt=T での消費電力の値を記入すること。

IV.　t =0からt =T の間に抵抗器r₁とr₂でそれぞれ発生する熱量の比はいくらになるか。

図２

　地球の自転周期をT 、光速をc として、以下の問いに答えよ。

　振動数νの電磁波に感受性のある２つの受信アンテナＡ，Ｂがある。Ａは赤道上のある地点に固定されている。また、ＢはＡの東方に位置し、東西方向に移動することができる。２つのアンテナで受信された信号は、振幅が電磁波の振幅に比例し、位相が電磁波と一致する電気信号に変換された上で、合成器で重ね合わされ、強度I （振幅の２乗に比例する）の電気信号として出力される（図３−１）。このアンテナを使って、赤道を含む面内にあり、地球の半径に比べて十分遠方の天体を観測することを考えよう。アンテナの大きさやＡＢ間での地球表面の湾曲は無視できるものとする。

I.　観測する天体Ｐが、ＡＢに対して角度θの方向に見える時刻をt =0とし、I の時間変化を測定したところ、図３−２のグラフのようになった。

(1) ＡＢの間隔をL として、I が極大になる時刻t が満たす条件式を導け。
(2) Δt はT に比べて十分に小さい。一般に、1より十分に小さいx に対して、 　sin x ≒ x ,　cos x ≒ 1 が成り立つことを使って、L を求めよ。

II.　Ｐの他に、Ｐから角度φだけ東に離れていてＰより暗い天体Ｑが存在する場合を考える。ただし、φは、より少し小さい程度の大きさだとする。それぞれの天体からやってくる電磁波は互いに干渉しないので、出力I は、各天体が１つだけ存在したときの出力I_PとI_Qの和になる。

(1) 仮にI_PとI_Qが別々に測定できたとすると、I_Pの極大値が観測されてから、次にI_Qの極大値が観測されるまでの時間間隔はいくらか。
(2) 実際に測定された出力I ＝I_P＋I_Qは、図３−３のグラフのようになった。このとき、Ｂを移動してＡＢの間隔を増していくと、I の極大値と極小値の差ΔI はしだいに大きくなり、ＡＢ＝L₀で最大に達した後、再び減少した。このような現象が生じる理由を説明し、φの値を求めよ。

図３−１


図３−２


図３−３

©Nobuo YOSHIDA